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麓山大讲堂

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在与 Nassif Ghoussoub 教授合作证明了二维 De Giorgi 猜想和三维的 Gibbons 猜想,其研究成果对这些相关问题的研究产生了相当重要的影响;发现了一类二阶椭圆偏微算子的广义的 Liouville 性质,并建立了该性质与 De Giorg 猜想的内在关系,这项研究开创了非线性偏微分方程整体解对称性研究的新途径;1999年,我与 Martin Barlow 和 Rich Bass 合作证明了所有维数的Gibbons猜想,进一步研究了二阶椭圆偏微算子的广义的 Liouville 性质,并发现了该性质与随机过程的联系。这类新型的 Liouville 定理的发现在分析数学的研究领域中是具有开创性的,这类新的定理和方法对偏微分方程理论和随机数学的研究产生了重大的影响。在非线性 Neumann 问题和 Schrödinger 方程的多峰解的研究方面也取得了突出的成果。

研究通常 Laplacian 和分数次 Laplacian 的 Allen-Cahn方程的行波解, 以及方程在线性扰动情形下的行波速度的渐近公式,通过用非线性函数对行波解速度的估计, 可以得到行波解的一致估计和解的导数在无穷远处的一致衰减估计, 从而得到行波速度的渐近公式。

给定一个平衡双稳定函数 f, 对任意 1 ≫ ϵ > 0, 令 fϵ(u) = f(u) + ϵ, 则 fϵ 为非平衡双稳定函数。设 m±(ϵ) 为 fϵ 的两个稳定零点, 对任意 1 ≫ ϵ > 0, 非线性项为 fϵ 的 Allen-Cahn 方 程存在唯一的行波速度 µϵ 和行波解 uϵ, 即 µϵ 和 uϵ 满足

IHL]UUABEMQ0IJ[~{2XH$0M

当 ϵ 趋于 0 时, 行波速度 µϵ 与参数 ϵ 的关系在相场理论中有非常重要的应用 。 通过类似文献 [2] 中的办法, 我们可以得到方程 (1.1) 的行波速度 µϵ 的一致估计, 于是可以证明存在常数C0 > 0 使得对所有的 1 ≫ ϵ > 0, 有SBH6G9)`9{NHZ_%HE6ONIZR  可以看出, 存在子列使得 NTEXT6O73QT]AL9~SDIPJUF收敛到一个正常数。我主要证明此收敛对所有子列都成立, 并且此正常数可以计算。

定理 1.1 对任意0<s≤1, f 为任意给定的双稳定函数, 并且 f 在 R 上只有三个零点,,分别为 m , m0 和 m+, 且 m < m0 < m+. 对任意光滑函数 g 和任意常数 |h| ≪ 1, 令 fh(u) = f(u) + hg(u),µh 和 ϕh 分别为非线性项为 fh 的 Allen-Cahn 方程的行波速度和行波解, 于是有

 

PMVKX$OTV18{K7$MDH9SR}J

特别地, 如果 f 为平衡双稳定函数, 则

Y4FESF07SR2K11E9L7FK}(J

在本报告中, 对任意 s ∈ (0, 1], s- 分数次 Laplacian 定义为

 

~YW4W403TO(3[){J@9MDI38

其中常数GC$$O6S6Z4_0{)ZR]D{A@2G

假设JC()QK`}G0J2D1[CR[)8_H9为一固定双稳定函数, 即存在三个数 m < m0 < m+ 使得

 f(m±) = f(m0) = 0, f′(m±) < 0, F(m0) > F(m+) > F(m ). (2.1)

特别地, 如果 F(m+) = F(m ) 成立, 则 f 称为平衡双稳定函数. 设常数 µ 和函数 ϕ 满足以下 AllenCahn 方程:

{_`K_UT$1AOJ~E0QRSJPCB6

以下 Hamilton 恒等式将用于证明速度的估计, 恒等式的详细证明参见文献 [2] (s = 1 容易得到).

引理 2.1 对所有 s ∈ (0, 1], 以下等式成立,

Y~NIEYUWVM4_W7Z60IASRDS

因此, µ > 0, 并且, 等号成立当且仅当 F(m+) = F(m ).

我们通过文献 [2] 中的办法得到速度的估计, 下面是详细计算过程.

证明 根据引理 2.1, µ > 0, 可以假设 µ > 0. 通过平移, 我们可以假设 ϕ(0) = m0. 在方程 (2.2) 的两边乘以 ϕ′(x) 并在 (−∞, 0] 上积分, 根据 (2.1)、(2.2) 和引理 2.1, 我们7F]W@OQD08_V~5AMPX38[GH

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今天因为报告时间有限,只能和大家分享研究中的一些新发现,如有在座的各位有兴趣,欢迎大家会后和我一起探讨,谢谢!


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